Teorema do confronto

O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.
Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche , porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.

Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)

Sejam $a_n\,$ , $b_n\,$ e $c_n\,$ sequências de números reais tais que:

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L\,$
$a_n\leq b_n\leq c_n\,$

Então, $b_n\,$ é uma sequência convergente e ainda:

$\lim_{n\to\infty}b_n=L\,$

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)

Sejam $f(x)\,$ , $g(x)\,$ e $h(x)\,$ funções reais definidas em um domínio $D\subseteq\mathbb{R}\,$ e seja $a\,$ um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:

$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\,$
$f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,$

Então existe o limite:

$\lim_{x\to a}g(x)=L\,$

Exemplo (com $x\in\mathbb{R}$ )

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere os gráficos à direita das funções $\frac{1}{x^2}$ (azul escuro), $\frac{\sin x}{x^2}$ (cinzento tracejado) e $-\frac{1}{x^2}$ (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função $\frac{\sin x}{x^2}$ fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0\,$
E como:
$-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\,$ ,
Conclui-se que:
$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\,$
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, $x\in\mathbb{N}$ ).

Regra de l'Hôpital

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A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1696. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\,\!\infty}{\,\!\infty}$ .

Enunciado

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos $I$ , com $g'(x) \neq 0,\; \forall x \in I$ .
Se $\lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = 0$ ou $\lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = \infty$
Então, se $\lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lambda$ ,
com $\lambda \in \mathbb{R}$ ou $\lambda = +\infty$ ou $\lambda = -\infty$ :
$\lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
Com $p=c$ , $p=c^+$ , $p=c^-$ , $p=+\infty$ ou $p=-\infty$ .
É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência) e que $\lambda$ tem de existir (i.e: se o limite do quociente das derivadas não existir, nada se pode concluir).

Aplicações

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{2x}{1} = \lim_{x \to 1}2x = 2$
$\lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{x} = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{1} = \lim_{x \to \,\!\infty}e^x = \,\!\infty$
A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

$y = \lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}$