quinta-feira, 7 de junho de 2012

Aula 8 - Regra da Cadeia

Nós havíamos visto um pouco de regra da cadeia na aula passada, mas aqui está, passo a passo, a forma como realizar derivadas através dessa regra:

A regra da cadeia afirma que
(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,
que em sua forma sucinta é escrita como: (f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\,\!
Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é
\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}

Exemplos

  • Exemplo 1: Considere f(x) = (x^2 + 1)^3. Temos que f(x)=h(g(x)) onde g(x) = x^2 + 1 e h(x) = x^3. Então,
f '(x) \, = 3(x^2 + 1)^2(2x) \,

= 6x(x^2 + 1)^2. \,
  • Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:
f(x) = \sin(x^2),\,
pode ser escrita como f(x) = h(g(x)) com h(x) = \sin x e g(x) = x^2. A regra da cadeia afirma que
f'(x) = 2x \cos(x^2) \,
desde que h'(g(x)) = \cos (x^2) e g'(x) = 2x.
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