tudo tem limites!: Aula 7 - Técnicas de diferenciação da derivada

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, f e g são deriváveis em $\mathbb{R}$ , e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Regras gerais de derivação

Linearidade: $\left({cf}\right)' = cf'$; $\left({f + g}\right)' = f' + g'$
Regra do produto: $\left({fg}\right)' = fg' + f'g$
Regra do quociente: $\left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{gf'-fg'}{g^2}$
Regra da Cadeia: $(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

onde (f $\circ$ g)(x) está definido como f(g(x))

Derivadas de funções simples

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} cx = c$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{ onde tanto } x^c \mbox{ quanto } cx^{c-1} \mbox{ são definidos}$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

${d \over dx} c^{f(x)} = {c^{f(x)} \ln c *{df \over dx}},\qquad c > 0$

Derivadas de funções trigonométricas

As igualdades abaixo não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da fórmula para a derivada do quociente:

$\tan'=\left(\frac{\operatorname{sen}}\cos\right)'=\frac{\cos.\operatorname{sen}'-\operatorname{sen}.\cos'}{\cos^2}=\frac{\cos^2+\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{\cos^2}=\sec^2\\\frac{\cos^2}{\cos^2}+\frac{\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=1+\tan^2.\end{array}\right.$

${d \over dx} \sen x = \mbox{cos} x$ , ou, dito de outra maneira, $\operatorname{sen}'=\cos\,$ ;

${d \over dx} \cos x = -\mbox{sen } x$ , ou, dito de outra maneira, $\cos'=-\operatorname{sen}\,$

${d \over dx} \mbox{ tg } x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}$ , ou, dito de outra maneira, $\tan'=1+\tan^2=\sec^2\,$

${d \over dx} \sec x = \mbox{ tg } x \sec x$

${d \over dx} \mbox{ cotg } x = -\mbox{cossec }^2 x = { -1 \over \mbox{sen}^2 x}$ , ou, dito de outra maneira, $\cot'=-1-\cot^2=-\csc^2\,$ .

${d \over dx} \mbox{ cossec } x = -\mbox{cossec } x \mbox{ cotg } x$

${d \over dx} \mbox{ arcsen } x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$ . Ou seja, $(\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arccos}'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ .

${d \over dx} \mbox{ arctg } x = { 1 \over 1 + x^2}$ . Isso é a mesma coisa que dizer que $(\forall x\in\mathbb{R}):\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$ .

${d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$ . Dito de outra maneira, isso significa que $(\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arcsen}'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ;