Aula 6 - a derivada como Taxa de variação

 Boa noite, venho até vocês com uma pergunta para iniciar nossa 6ª aula

como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante? 


 
  Situação 1Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por
s(t)=t²+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2. Como podemos achar essa velocidade? 
Situação 2Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial nula, é dada por
considerando a aceleração da gravidade g=9,8m/s². Intuitivamente, percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta.
Como podemos calcular a velocidade instantânea, por exemplo, 1s após o início da queda? E após 2s?
Situação 3 Suponha que uma bexiga está sendo inflada, produzindo uma esfera perfeita. Qual a taxa de variação pontual do volume de uma esfera de raio r, em função do raio? Com que taxa varia o volume da esfera quando r= 2m?
Observações:
i) a taxa de variação pontual de f no ponto x₀ é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x₀. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.
Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.
ii) dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x₀, se consideramos o acréscimo Dx>0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Se consideramos Dx<0, fazemos se aproximar de 0 por valores negativos e escrevemos Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente , estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos.
A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica importante que será útil em nosso estudo das funções.
dada uma função y=f(x), e fixado um valor x₀ do domínio de f, consideramos um acréscimo Dx, positivo ou negativo, de modo que o intervalo
[x₀,x₀+Dx ], se Dx>0, ou [x₀+Dx , x₀] se Dx<0
esteja inteiramente contido no domínio da função;
calculamos então o quociente
que fornece a taxa de variação média da função f no referido intervalo.
A seguir, calculamos o que fornece a taxa de variação pontual de f no ponto x.

Definição: Chamamos de derivada da função y=f(x) no ponto x₀, ao limite da taxa de variação média quando , se tal limite existe.
Desse modo, a derivada da função no ponto x₀ pode ser entendida como sendo a taxa de variação pontual, no ponto x₀.
Indicamos tal fato por:

Observação: Colocando x=x₀+Dx , temosDx=x-x₀. Então, se Dx®0, temos Dx®x₀.

Portanto, podemos, equivalentemente, escrever:

que é uma outra maneira de se escrever a derivada da função f no ponto x₀.
Observações:
1. Se a função y=f(x) admite derivada em um ponto, dizemos que a função é derivável nesse ponto.
2. Se a função y=f(x) admite derivada em todos os pontos de um intervalo, dizemos que a função é derivável nesse intervalo. É preciso observar que estamos nos referindo a um intervalo aberto, pois numa extremidade de um intervalo fechado não poderemos estar calculando o limite que exige que o acréscimo Dx tenda a zero pelos dois lados: pela esquerda e pela direita.
Notação:
Existem várias formas para indicar a derivada de uma função y=f(x), num ponto x₀:
1) f'(x₀)
2)
3)
Na última notação não fica explícito o ponto no qual a derivada está sendo calculada. Quando isso for necessário, essa notação fica: ou
A notação utilizando a forma de quociente é devida a Leibniz.