Aula 3 - Limites infinitos, suas propriedade e limites fundamentais!

 Boa noite! aqui está a terceira aula da nossa programação de aulas de cálculo!




Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico desta função através das tabelas abaixo.

Comportamento de f à esquerda de x=0
x	-1	-0,1	-0,01	-0,001	-0,0001
f(x)	-1	-10	-100	-1000	-10000

Quando x0, por valores maiores que zero (x0₊) os valores da função crescem sem limite.

Comportamento de f à direita de x=0
x	1	0,1	0,01	0,001	0,0001
f(x)	1	10	100	1000	10000

Quando x0, por valores menores que zero (x0_) os valores da função decrescem sem limite.
Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.

Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0 esta função não tem os valores se aproximando de um limite bem definido.

Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observamos que:

Comportamento de f à esquerda de x=0
x	1	-0,1	-0,01	-0,001	-0,0001
f(x)	1	100	10000	1000000	100000000

Comportamento de f à direita de x=0
x	1	0,1	0,01	0,001	0,0001
f(x)	1	100	10000	1000000	100000000

Observamos pelas tabelas, que se x0, por valores maiores ou menores do que 0, os valores da função crescem sem limite. Assim, podemos afirmar, por este exemplo que, quando x0 esta função tem os valores se aproximando de um limiar (inf=infinito=). Neste caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal fato por:

Lim_x0 1/x²=+

Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa deste limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical, que é uma reta cuja equação é dada por x=0, neste caso.
Definição: Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x=a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por:

lim_xa f(x)=+

se, para todo número real L>0,existir um d>0 tal que se 0<|x-a|<d, então

f(x) > L

De modo similar, g(x)=-1/x² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no intervalo (-,0). O comportamento de g próximo de x=0 é similar ao de f(x)=1/x², porém os valores são negativos. Neste caso, dizemos que não existe limite no ponto x=0, no entanto representamos tal resultado por:

Lim_x0 -1/x²=+

Definição: Se o limite de f(x) tende a infinito, quando xa pela esquerda e também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando xa é infinito e escrevemos:

lim_xaf(x) = +

Analogamente, a expressão matemática:

lim_xaf(x)=-

significa que f(x) tende a -, se xa pela esquerda e também pela direita.

Propriedade dos limites!

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos xa.

1. Se f(x)=C onde C é constante, então
   
   Lim f(x) = Lim C = C
2. Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então
   
   Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b
3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:
   
   1. Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B
   2. Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B
   3. Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A
   4. Lim(f)ⁿ(x) = (Lim f(x))ⁿ = Aⁿ
   5. Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.
   6. Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)
4. Se acontecer uma das situações abaixo:
   1. Lim f(x) = 0
   2. Lim f(x)>0 e n é um número natural
   3. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar
   então
   
   

Observações sobre as propriedades:

1. As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.
2. As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x)=0, quando xa, então:

Lim f(x)·g(x) = 0

Este resultado útil para podermos obter cálculos com limites.

Limite fundamental!

Estudaremos agora um limite fundamental que é utilizado na obtenção da derivada da função seno.

Lim_x0sen(x)/x = 1

A derivada da função f(x)=sen(x) no ponto x=a, pode ser obtida pelo limite

f'(a)=Lim_xa (sen(x)-sen(a))/(x-a)

mas

sen(x)-sen(a) = 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]

por hoje é só pessoal!