Aula 2 - definição de limite!

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.
O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...
Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções.

Ideia intuitiva de limite!

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1}R definida por:

f(x)=	x²-1 x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:

f(x) = x + 1

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).
Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1 x 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1 f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 2	Pela direita de x=1 x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1 f(x) 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

Lim_x1 f(x) = 2

Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

 Limite de uma função real:

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:

1. O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:
   
   Lim_xc+ f(x) = Ld
2. O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:
   
   Lim_{xc_} f(x) = Le
3. Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita L_d, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:
   
   Lim_xc f(x) = L
   O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d>0, que depende de e, tal que
   
   |f(x)-L|< e
   para todo x satisfizando 0 <|x-a|<d.
   
4. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma função não pode se aproximar de dois limites diferentes ao mesmo tempo e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.